Мозговыносящая математика

[Стержень]

Можно ли доверять математике(11 мин 11 сек):

 

[Mulberry]

@Стержень, как же все сложно.:aga:

 

[Стержень]

В последнее время бурно развивается и приобретает всё большую важность теория игр, которая на самом деле является теорией принятия решений, в ситуациях, когда на результат влияете не только вы, но и кто-то другой. Чаще всего этот "другой" - умный подобный вам соперник(или несколько соперников у которых могут быть разные интересы), но так же есть и "игры с природой", когда вы пытаетесь реализовать свои планы в мире, который не прилагает осознанных усилий их нарушить, а просто живёт по своим законам.



- в видео упоминается Джон Нэш, внесший весомый вклад в развитие теории игр. А именно: он доказал, что равновесие(о котором говорится в видео и которое получило название "равновесия Нэша") всегда существует для определённого(очень важного) класса игр. Ну, то есть, математики завсегда готовы напридумывать нового, что выходит за рамки старых теорий, а Нэш доказал существование равновесия для всех тех "игр", что были актуальны в его время, на тот момент.

Это тот самый Нэш, про которого снят фильм Игры Разума / A Beiful Mind, который был болен параноидальной шизофренией и страдал галлюцинациями, но после того, как понял, что болен, сумел взять свои отклонения под контроль. В своей автобиографии он написал: «Сейчас я мыслю вполне рационально, как всякий учёный. Не скажу, что это вызывает у меня радость, какую испытывает всякий выздоравливающий от физического недуга. Рациональное мышление ограничивает представления человека о его связи с космосом»

===

Важнось теории игр хорошо иллюстрирует парадокс Браеса(который я объясню по-своему). Суть его в том, что если на дорогах образуются пробки и если для решения этой проблемы построить ещё одну дорогу, то может случиться так, что пробки станут ещё больше и люди будут ещё больше времени тратить в пустую. А может быть и наоборот: если закрыть проезд по какой-то дороге, то это может привести к уменьшению пробок.

Как такое может быть?

Допустим, из пункта А в пункт Б идут две разные, но примерно одинаковые по протяжённости дороги, обходящие некий участок между ними одна с одной стороны, другая с другой. Пропускной способности этих дорог в пиковые моменты не хватает и тогда образуются пробки. Что будет, если мы построим ещё одну, более короткую, дорогу напрямую? Тогда водители, которые ранее с равным шансом выбирали из двух дорог, чаще всего будут выбирать "лучший путь" - среднюю дорогу и пробки увеличатся! И наоборот - если мы изучим, на каких улицах города чаще возникают пробки, то может оказаться выгодным какую-то из таких улиц перекрыть, чтобы устранить такой "лучший путь" // но, ясное дело, что не ст0ит слишком увлекаться, так как пропускная способность дорог - тоже важный фактор и уменьшая количество дорог мы уменьшаем общую пропускную способность. Оптимальным вариантом было бы завести сервис с рекомендациями для водителей, какую дорогу лучше выбрать. Сегодня такое уже возможно.

P.S.

И, да - Браес из этого сообщения и Байес из сообщения где-то выше - это совершенно разные дядьки. Но оба - математики))

 

[Стержень]

Блин-блин, блин! В сообщении выше, про парадокс Байеса я допустил ошибку:

Предположим, при рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна 99%, вероятность принять здорового человека за больного равна 1%. Доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна 0,1%. Какова вероятность того, что человек болен, если он был признан больным при обследовании? Эту вероятность можно вычислить, например, воспользовавшись формулой Байеса. И она равна.... всего 9% !

- в этом вся суть парадокса: несмотря на высокую точность теста, в такой ситуации, вероятность того, что прогноз "болен" окажется верным для конкретного человека, равна всего 9%

 

[Стержень]

в видео упоминается Джон Нэш, внесший весомый вклад в развитие теории игр

А вот длинная, но интересная статья: реальная история Джона Нэша

и, самое интересное:

В детстве Нэш ненавидел математику, и оценки в школе у него были соответствующие. Сам он в автобиографии говорит, что все изменилось после книги «Творцы математики». Она была написана так захватывающе и понятно, что по прочтении ему удалось самостоятельно доказать одну небольшую теорему.

- немного кривые сканы этой книги(автор Белл Э.Т.) на русском языке, можно бесплатно скачать здесь. Думаю, платные версии должны быть лучшего качества.

 

[Стержень]

Парадокс дихотомии Зенона:

 

[Talamasca]

@Стержень, сложность там, где ее могло не быть.

 

[Стержень]

сложность там, где ее могло не быть

Древние мыслители, пусть и не всегда логично с современной точки зрения, стремились к пониманию основ мироустройства и к целостному объяснению всего с помощью каких-то универсальных принципов.

Например, Пифагору удалось - Оффтоп

собрать тайные знания и основать собственную секту, члены которой считали числа сущностью всех вещей, а взаимоотношения между ними — основой всех явлений и во всём искали(и находили) строгий математический порядок... и только высшие посвящённые Пифагорейской секты знали страшную тайну - результат вычисления корня из двух не может быть представлен в виде дроби натуральных чисел! — и это, по их мнению, опровергало учение секты.

Но ближе к делу: Зенон Элейский принадлежал к той греческой философской школе, которая учила, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Его четыре апории (от греч. aporia «безвыходность»), породившие с тех пор ещё примерно сорок различных вариантов, служили доказательством, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно.

И может быть, Зенон и Пифагор были правы в чём-то главном, но в частностях они ошибались. Современные математики не видят никакой проблемы в иррациональных числах(как корень из двух) - их существование никак не опровергает предположения о математике как основе мироздания. Ну а что касается апорий Зенона, то видео выше кратко и ясно раскрывает ошибку.

 

[Talamasca]

Пифагору удалось

Интересно...

 

[Стержень]

Слабое место математики: можно ли доказать всё, что истинно? [Veritasium]

 

[Стержень]

Парадокс сложения:

 

[Стержень]

[Veritasium] Совершенно иной подход к математике :

 

[Marvin]

Сразу вспомнился Гашек

-- Четыре тысячи двести шестьдесят восемь! Такой номер был
у одного паровоза в Печках. Этот паровоз стоял на шестнадцатом
пути. Его собирались увести на ремонт в депо Лысую-на-Лабе, но
не так-то это оказалось просто, господин фельдфебель, потому
что у старшего машиниста, которому поручили его туда перегнать,
была прескверная память на числа. Тогда начальник дистанции
позвал его в свою канцелярию и говорит: "На шестнадцатом пути
стоит паровоз номер четыре тысячи двести шестьдесят восемь. Я
знаю, у вас плохая память на цифры, а если вам записать номер
на бумаге, то вы бумагу эту также потеряете. Если у вас такая
плохая память на цифры, послушайте меня повнимательней. Я вам
докажу, что очень легко запомнить какой угодно номер. Так
слушайте: номер паровоза, который нужно увести в депо в
Лысую-на-Лабе,-- четыре тысячи двести шестьдесят восемь.
Слушайте внимательно. Первая цифра -- четыре, вторая -- два.
Теперь вы уже помните сорок два, то есть дважды два -- четыре,
это первая цифра, которая, разделенная на два, равняется двум,
и рядом получается четыре и два. Теперь не пугайтесь! Сколько
будет дважды четыре? Восемь, так ведь? Так запомните, что
восьмерка в номере четыре тысячи двести шестьдесят восемь будет
по порядку последней. После того как вы запомнили, что первая
цифра -- четыре, вторая -- два, четвертая -- восемь, нужно
ухитриться и запомнить эту самую шестерку, которая стоит перед
восьмеркой, а это очень просто. Первая цифра-- четыре, вторая--
два. а четыре плюс два -- шесть. Теперь вы уже точно знаете,
что вторая цифра от конца -- шесть; и теперь у вас этот порядок
цифр никогда не вылетит из головы. У вас в памяти засел номер
четыре тысячи двести шестьдесят восемь. Но вы можете прийти к
этому же результату еще проще...
Фельдфебель перестал курить, вытаращил на Швейка глаза и
только пролепетал:
-- Карре аb! / Снять головной убор! (нем.)/
Швейк продолжал вполне серьезно:
-- Тут он начал объяснять более простой способ запоминания
номера паровоза четыре тысячи двести шестьдесят восемь. "Восемь
без двух -- шесть. Теперь вы уже знаете шестьдесят восемь, а
шесть минус два -- четыре, теперь вы уже знаете четыре и
шестьдесят восемь, и если вставить эту двойку, то все это
составит четыре -- два -- шесть -- восемь. Не очень трудно
сделать это иначе, при помощи умножения и деления. Результат
будет тот же самый. Запомните,-- сказал начальник дистанции,--
что два раза сорок два равняется восьмидесяти четырем. В году
двенадцать месяцев. Вычтите теперь двенадцать из восьмидесяти
четырех, и останется семьдесят два, вычтите из этого числа еще
двенадцать месяцев, останется шестьдесят. Итак, у нас
определенная шестерка, а ноль зачеркнем. Теперь уже у нас сорок
два, шестьдесят восемь, четыре. Зачеркнем ноль, зачеркнем и
четверку сзади, и мы преспокойно опять получили четыре тысячи
двести шестьдесят восемь, то есть номер паровоза, который
следует отправить в депо в Лысую-на-Лабе. И с помощью деления,
как я уже говорил, это также очень легко. Вычисляем
коэффициент, согласно таможенному тарифу..." Вам дурно,
господин фельдфебель? Если хотите, я начну, например, с
"General de charge! Fertig! Hoch an! Feuer!" / Стрельба
залпами! (франц.) Готовьсь! На прицел! Пли! (нем.)/ Черт
подери! Господину капитану не следовало посылать вас на солнце.
Побегу за носилками.
Пришел доктор и констатировал, что налицо либо солнечный
удар, либо острое воспаление мозговых оболочек.
Когда фельдфебель пришел в себя, около него стоял Швейк и
говорил:
-- Чтобы докончить... Вы думаете, господин фельдфебель,
этот машинист запомнил? Он перепутал и все помножил на три, так
как вспомнил святую троицу. Паровоза он не нашел. Так он и до
сих пор стоит на шестнадцатом пути.
Фельдфебель опять закрыл глаза.

 

[Wash]

Математика разная бывает. Правильно построенная математическая модель может дать очень много для понимания происходящего. Помнится, в журнале "Наука и жизнь" была интересная задача:
В некоторой стране у власти находится тиран, которому надо провести демократические выборы и при этом остаться у влсти. Он знает, что большинство населения настроены категорически против него и проголосуют за альтернативного кандидата. Оно ему надо? Поэтому, он придумал такую схему: на первом этапе все население делится на группы в 5 человек. Они голосуют, и по результатам болинства голосов выбирают одного делегата от своей группы для следующего этапа. На втором этапе также формируются группы по 5 человек и все повторяется. И так до тех пор, пока не сформируется последняя пятерка, по результатом голосования которой и будет выбран президент. При условии, что тиран может полностью контролировать формирование пятёрок для голосования (при развитых компьютерных технологиях это очень просто) и число его стронников 100 тысяч, может ли он победить на таких демократических выборах, если население страны 10 млн? Попробуйте решить самостоятельно

Ответ

У меня получилось, что для победы ему потребуется около 60 тысяч сторонников. Для упрощения вычислений просто взял население 9765625 человек, что дает на минимальное число подсадных голосовальщиков в 59049. Точно считать для 10млн было лень.

 

[Степлер]

40 бабушек поехали кататься на мотоциклах. Вредные задачки Григория Остера​

Задача 1​

Пожарных учат надевать штаны за три секунды.
Сколько штанов успеет надеть хорошо обученный пожарный за пять минут?

Задача 2​

В специальный ящик можно уложить 68 куриных яиц. Если уминать их ногами, то поместится в 100 раз больше.
Сколько уминаемых ногами яиц можно уложить в 3 таких же одинаковых ящика?

Задача 3​

Курочка Ряба снесла яичко, а мышка взяла и разбила. Тогда Ряба снесла еще три яичка. Мышка эти тоже разбила. Ряба поднатужилась и снесла еще пять, но бессовестная мышка расколотила и эти.
Из скольких яиц могли бы приготовить себе яичницу дед и баба, если бы не разбаловали свою мышку?

Задача 4

40 бабушек поехали кататься на мотоциклах. Впереди на мотоцикле без глушителя ехала в одиночестве самая шустрая бабушка, за ней мчались три мотоцикла с колясками, на каждом из которых поместилось по три бабушки, а сзади их догоняли остальные мотоциклы. На отставших мотоциклах сидело по две бабушки.Сколько всего мотоциклов было у бабушек?​